単位円に内接する正π角形の通過領域の面積を求めよ

という問題を思い付いた。
正n角形というとnは自然数である。でもこれって自然数じゃなくてもよくないと思った。中心角は360/n度となるけど360/πは2ラジアンなので正π角形の一辺のみ書き、原点から垂線を下すと斜辺の長さ1、角度1ラジアンとなる。
よって最短となる点はcos1なのでドーナツ型になって、面積を求めると(1-(cos1)^2)π＝π(sin1)^2

っていいたいんだけど、中心角360/πってこれを無限大に自然数倍していっても(mod360)のもとで0と合同にはならなそうっていう。

k × (360 / π) ≡ 0 (mod 360)
両辺を 360 で割ると
k / π ≡ 0 (mod 1)
→ k / π が整数
→ k = m × π（m は整数）
でも π は無理数だから、m が整数で k が整数になるのは k = 0 だけ。
どんな大きな自然数 k を取っても、小数部分 {k / π} は絶対に 0 にならない。
じゃあそもそも(1,0)にlimn→∞しても通らないじゃないですか。。

いやまあそもそも正無理数角形を定義しろって言われたらそうなんですが、暇な人は教えてください。